Kabanata 2: Boolean Algebra at Ang Mga Kaugnay na Bahagi ng Computer Nito

Kabanata 2: Boolean Algebra at Ang Mga Kaugnay na Bahagi ng Computer Nito

2.1 Mga Pangunahing Operator ng Boolean

Ipagpalagay na ako (ang may-akda) ay matangkad at ikaw (ang mambabasa) ay matangkad. Kung may magtanong sa iyo kung pareho tayong matangkad, sasabihin mo 'Oo' (totoo). Kung tatanungin niya kung pareho kaming pandak, sasabihin mo 'Hindi' (mali). Kung ikaw ay pandak at ako ay matangkad, at tinanong ka niya kung ikaw o ako ay matangkad, ang iyong sagot ay 'Oo' (totoo). Kung tatanungin niya kung pareho ka at ako ay matangkad, wala kang isasagot. Maaari mong ipagpatuloy na sabihin na ang huling tanong ay hindi dapat itanong o na ang tanong ay walang sagot. Well, gusto kong malaman mo (ang mambabasa) na ngayon, sa ilalim ng ilang mga pangyayari, ang tanong ay dapat itanong.

Sa biology, ang isang tao ay matangkad o maikli. Ito ay ang 'kapaligiran' na mga kondisyon na gumagawa ng tao na magkaroon ng katamtamang taas. Isang siyentista, si George Boole, ang nagtakda ng isang hanay ng mga sagot o panuntunan para sa ganitong uri ng mga tanong. Malalaman natin ang mga panuntunang ito sa seksyong ito ng online na kurso sa karera (kabanata). Ang mga panuntunang ito ay ginagamit sa computing, programming, electronics at telekomunikasyon ngayon. Sa katunayan, kung wala ang mga panuntunang ito, hindi ka magkakaroon ng computer, dahil karaniwan na ito ngayon; hindi ka rin magkakaroon ng programming, dahil karaniwan na ito ngayon.

Tama o mali
Ang isang simpleng pahayag ng wika ng tao ay alinman sa totoo o mali sa sarili nito. Kung sasabihin kong, 'matangkad ako', iyon ay totoo o mali. Kung sasabihin kong, 'matangkad ka', iyon ay totoo o mali. Kung ako ay matangkad at ikaw ay maikli, at ang tanong ay tinanong kung ikaw at ako ay matangkad, sa Boolean Logic, ang sagot ng tama o mali ay dapat ibigay. Alin sa dalawang ito ang dapat ibigay? Hindi talaga sinagot ni Boole ang tanong na ito. Gumawa lang siya ng isang set ng rules para sundin namin. Ang magandang balita ay, kapag sinunod mo ang mga panuntunang ito sa kanilang tamang konteksto, wala kang anumang kalabuan. Salamat sa mga panuntunang ito, mayroon kaming mga computer at programming ngayon. Ang mga patakaran ay ibinigay sa iyo ngayon. Hindi talaga maipaliwanag ang mga tuntunin; tanggapin mo na lang sila. Ang mga patakaran ay nasa ilalim ng tatlong heading: AT, O, at HINDI.

AT
Maaaring itanong kung pareho ka AT ako ay matangkad. Ang taas ko at ang taas mo ay pinagsama ng AT set ng mga panuntunan. Ito ang mga tuntunin ng AT na dapat sundin:

mali AT mali = mali
mali AT totoo = mali
totoo AT mali = mali
totoo AT totoo = totoo

Ngayon, hayaang tama ang matangkad at mali ang maikli. Nangangahulugan ito na kung ako ay maikli AT ikaw ay maikli, ikaw at ako ay maikli. Kung ako ay pandak AT ikaw ay matangkad, ikaw at ako ay maikli; iyon ang Boolean na sagot na kailangan mong tanggapin. Kung ako ay matangkad AT ikaw ay maikli, ikaw at ako ay maikli. Kung ako ay matangkad AT ikaw ay matangkad, ikaw at ako ay matangkad. Ang lahat ng ito ay AT Boolean na mga panuntunan na kailangan mong tanggapin (ang mambabasa).

O
Maaaring itanong kung ikaw O ako ay matangkad. Ang taas ko at ang taas mo ay pinagsama ng OR set of rules. Ito ang mga tuntunin ng OR na dapat sundin:

mali O mali = mali
mali O totoo = totoo
totoo O mali = totoo
totoo O totoo = totoo

Muli, hayaang tama ang matangkad at mali ang maikli. Nangangahulugan ito na kung ako ay pandak O ikaw ay pandak, ikaw O ako ay maikli. Kung ako ay pandak O ikaw ay matangkad, ikaw o ako ay matangkad. Kung matangkad ako O maikli ka, matangkad ka O ako. Kung ako ay matangkad O ikaw ay matangkad, ikaw o ako ay matangkad. Ang lahat ng ito ay mga panuntunang Boolean na kailangan mong tanggapin.

HINDI
Ngayon, sa Boolean logic, dalawang estado lamang (mga posibleng sagot) ang umiiral. Ibig sabihin, kung HINDI ka matangkad, pandak ka. Kung HINDI ka pandak, ikaw ay matangkad; walang iba. Ito ang mga HINDI tuntunin na dapat sundin:

HINDI mali = totoo
HINDI totoo = mali

Ipagpalagay na mayroon kang isang string (o spring) na maaari mong pahabain (pull). Habang ang string ay nasa natural nitong estado, kung sasabihin kong, 'HINDI maikli', papahabain mo ito; yan ang interpretasyon. Habang pinahaba ang string, kung sasabihin kong, 'HINDI mahaba', papayagan mo itong kurutin; yan ang interpretasyon.

Kailangan mong kabisaduhin ang lahat ng ibinigay na mga patakaran sa kanilang iba't ibang kategorya.

Higit sa Dalawang Operand
Sa isang wika ng computer, ang AT, O, at HINDI ay tinatawag na operator. Para sa NOT operator, kailangan mo lang ng isang operand (value sa isang operator) para magkaroon ng sagot. Para sa mga operator ng AND o OR, maaari kang magkaroon ng higit sa dalawang operand. Ang mga nakaraang kaso ay nagpapakita ng dalawang operand para sa AND at OR. Maaari kang magkaroon ng tatlong operand para sa AT tulad ng sumusunod:

mali AT mali AT mali = mali
mali AT mali AT totoo = mali

Ito ay dalawang linya; bawat isa ay may dalawang AND operator. Mayroon talagang siyam na linya kapag ang mga operand ay tatlo. Sa operator ng AND, tanging ang huling linya (ika-siyam na linya) ang katumbas ng totoo; lahat ng mga naunang linya ay mali. Tandaan na may dalawang operand para sa AND, tanging ang huling linya ay totoo pa rin; lahat ng naunang tatlong linya ay mali. Kapag apat ang mga operand, mayroong 16 na linya at ang huling linya lamang ang totoo para sa operator ng AND.

Ang pattern para sa AND at ang pattern para sa OR ay magkaiba. Sa tatlong operand para sa dalawang OR operator, mayroon ding siyam na linya at ang unang linya lamang, sa pagkakataong ito, ay mali. Ang pangalawa hanggang sa ika-siyam na linya ay totoo. Tandaan na sa dalawang operand para sa OR, ang unang linya lang ang totoo; lahat ng natitirang tatlong linya ay mali. Kapag ang mga operand ay apat para sa OR, mayroon ding 16 na linya.

Ang NOT operator ay nakikitungo lamang sa isang operand. Ang HINDI mali ay totoo at ang HINDI totoo ay mali.

2.2 Dalawang Talahanayan ng Katotohanan ng Operand at Ang Kanilang mga Elektronikong Bahagi

Sa matematika, mayroong isang paksa na tinatawag na algebra. Ang isang maliit na bahagi nito ay nakita sa nakaraang kabanata. Mayroong isang uri ng algebra na tinatawag na Boolean algebra. Sa Boolean algebra, ang true ay kinikilala ng base two digit na 1 at false ay kinilala ng base two digit na 0.

Ang mga panloob na bahagi ng yunit ng computer ay mga elektronikong sangkap. Ang system unit ng computer system ay may mga digital na elektronikong bahagi. Ang operasyon ng AND ay ginagawa ng isang maliit na electronic component na tinatawag na AND gate. Ang operasyon ng OR ay ginagawa ng maliit na electronic component na tinatawag na OR gate. Ang NOT operation ay ginagawa ng maliit na electronic component na tinatawag na NOT gate. Masyadong marami sa mga gate na ito ang maaaring nasa isang Integrated Circuit (IC) chip.

AT Talaan ng Katotohanan at ang Pintuan Nito
Ang sumusunod na talahanayan ay nagbibigay ng AND truth table at ang AND gate nito (maliit na circuit) na simbolo:

Para sa parehong talahanayan ng AT katotohanan at ang gate nito, ang A pati na rin ang B ay dalawang variable na input. Ang Q ay ang output variable. A ay alinman sa 1 o 0. B ay alinman sa 1 o 0. Q ay alinman sa 1 o 0. Ang AND truth table na may 1's at 0's ay pareho sa nakaraang true/false AND truth layout (table). Ang AND equation ay:

A . B = Q

kung saan ang tuldok (.) ay nangangahulugang AT (Boolean). Ang tuldok ay maaaring tanggalin upang magkaroon ng AB = Q na ang ibig sabihin ay pareho (AT).

Tandaan: Ang mga bit para sa A at B sa apat na row, bilang mga pares, ay ang unang apat na numero sa base two na nagsisimula sa 0 (o 00), ibig sabihin, 00, 01, 10, 11.

Ang sumusunod na talahanayan ay nagbibigay ng OR truth table at ang OR gate nito (maliit na circuit) na simbolo:

Para sa parehong talahanayan ng katotohanan ng OR at ang gate nito, ang A pati na rin ang B ay dalawang variable ng input. Ang Q ay ang output variable. Ang OR truth table na may 1's at 0's ay kapareho ng dating true/false OR truth layout (table).

Ang OR equation ay:

A + B = Q

Kung saan ang + dito ay nangangahulugang Boolean O at hindi karagdagan. Ang equation ay binabasa bilang 'A o B katumbas ng Q'.

Ang sumusunod na talahanayan ay nagbibigay ng NOT truth table at ang NOT gate nito (maliit na circuit) na simbolo:

Ang NOT truth table o NOT gate ay mayroon lamang isang input at isang output. Kapag ang input ay 0, ang output ay 1. Kapag ang input ay 1, ang output ay 0. Ang NOT gate ay gumagawa ng isang uri ng inversion. Ang output variable ay kapareho ng input variable, ngunit may bar (over-lined). Ang NOT truth table na may 1's at 0's ay pareho sa nakaraang true/false OR truth layout (table).

Ang NOT equation ay:

A = Q

Kung saan ang Q = A at ang bar sa ibabaw ng A dito ay nangangahulugang pandagdag. Ang complement ng 0 ay 1 at ang complement ng 1 ay 0. Ang NOT gate ay kilala rin bilang INVERTING gate.

Ito ang mga pangunahing (o ugat) na mga talahanayan ng katotohanan at ang kanilang mga gate (maliit na circuit) sa digital electronics (na may Boolean algebra). Ang iba pang tatlong talahanayan ng katotohanan na ibinigay sa sumusunod na paglalarawan at ang kanilang mga pintuan ay para sa kaginhawahan at batay sa nakaraang tatlong talahanayan ng katotohanan.

Mayroong isang talahanayan ng katotohanan at tarangkahan na nagmula sa talahanayan at tarangkahan ng katotohanan. Ang mga ito ay tinatawag na NAND (para sa HINDI AT) talahanayan ng katotohanan at ang kaukulang NAND gate. Ang talahanayan ng katotohanan ng NAND at ang gate ng NAND nito ay:

Para makuha ang NAND truth table, pumunta sa output ng AND truth table at palitan ang bawat digit ng complement nito. Ang complement ng 0 ay 1 at ang complement ng 1 ay 0. Ang NAND gate ay parang AND gate, ngunit may maliit na bilog bago ang output line. Ang equation ng NAND ay:

Kung saan nangangahulugang ang pandagdag ng resulta ng 'A' AT 'B'. Ang bar (over-line) ay kinakatawan sa gate ng maliit na bilog. Tandaan na ang tuldok sa pagitan ng A at B ay maaaring tanggalin.

May isa pang truth table at gate na nagmula sa OR truth table at gate. Tinatawag silang NOR (para sa NOT OR) truth table at ang kaukulang NOR gate. Ang NOR truth table at ang NOR gate nito ay:

Upang makuha ang talahanayan ng katotohanan ng NOR, pumunta sa output ng talahanayan ng katotohanan ng OR at palitan ang bawat digit ng pandagdag nito. Ang complement ng 0 ay 1 at ang complement ng 1 ay 0. Ang NOR gate ay parang OR gate, ngunit may maliit na bilog bago ang output line. Ang NOR equation ay:

saan nangangahulugang ang pandagdag ng resulta ng “A” O “B”. Ang bar (overline) ay kinakatawan sa gate ng maliit na bilog.

Eksklusibo O (XOR)
Ang talahanayan ng katotohanan para sa OR gate ay:

Sa normal na English, hindi malinaw kung ang huling row ng 1 OR 1 ay dapat magbigay ng 1 o 0. Kaya, sa Boolean algebra, mayroong dalawang uri ng OR truth table at dalawang katumbas na gate. Sa normal na OR, ang huling row ng 1 OR 1 ay nagbibigay ng 1. Ang isa pang uri ng OR ay ang exclusive-OR (XOR) kung saan ang unang tatlong row ay pareho sa unang tatlong row ng normal na OR (kabilang ang output). Gayunpaman, para sa ikaapat at huling hilera, ang 1 O 1 ay nagbibigay ng 0.

Ang sumusunod na talahanayan ay nagbibigay ng XOR truth table at ang XOR gate (maliit na circuit) na simbolo nito:

Para sa parehong talahanayan ng katotohanan ng XOR at ang gate nito, ang 'A' pati na rin ang 'B' ay dalawang variable ng input. Ang 'Q' ay ang output variable.

Ang XOR equation ay:

A ⊕ B = Q

Kung saan ang ⊕ dito ay nangangahulugang Boolean XOR.

Ang normal na OR ay nangangahulugang alinman o pareho. Eksklusibo O nangangahulugang mahigpit alinman at hindi pareho.

2.3 Mga Postulate ng Boolean

Ang mga postulate ay mga pagpapalagay batay sa kung saan ang ilang mga konklusyon ay iginuhit. Mayroong sampung Boolean postulates na nag-ugat mula sa AND, OR, at NOT equation (mga talahanayan ng katotohanan). Ang mga equation na ito ay tinatawag ding function. Ang mga pangunahing pag-andar ay muling kinopya tulad ng sumusunod:

Ito ang mga pangunahing function (equation) sa Boolean algebra. Ang mga sumusunod na iba pang tatlong (function) equation ay hindi pangunahing function:

Kahit na ang huling function dito ay kakaiba, hindi ito itinuturing bilang isang pangunahing function.

Ang mga postulate ng Boolean ay ang mga sumusunod:

Mula sa AT Function
1) 0 . 0 = 0
dalawampu . 1 = 0
3) 1. 0 = 0
4) 1. 1 = 1

Mula sa OR Function
5) 0 + 0 = 0
6) 0 + 1 = 1
7) 1 + 0 = 1
8) 1 + 1 = 1

Mula sa NOT Function
9) 0 = 1
10) 1 = 0

Tandaan: Ang mga postulate na ito ay ang mga linya lamang sa mga talahanayan ng AT, O, at HINDI katotohanan na ipinahayag sa isang malayang paraan. Dapat isaulo ng mambabasa ang mga ibinigay na postulate.

2.4 Mga Katangian ng Boolean

Ang isang ari-arian ay isang tulad ng isang katangian ng isang bagay. Ang mga katangian ng Boolean ay mga equation na nagmula sa mga postulate ng Boolean. Sa seksyong ito, ang mga pag-aari ay ibinibigay lamang nang wala ang kanilang mga derivasyon at pagkatapos ay ginamit pagkatapos. Mayroong dalawampu't lima sa mga ari-arian na nakapangkat sa ilalim ng sampung heading gaya ng sumusunod:

Mga Katangian ng AND Function

Ari-arian 1:

Kung saan ang X ay maaaring 1 o 0. Nangangahulugan ito na anuman ang X, ang resulta ay palaging 0.

Tandaan: Ang isang variable ay hindi dapat A o B o C o D. Ang isang variable ay maaaring W o X o Y o Z o anumang iba pang titik.

Ari-arian 2:

Kung saan ang X ay maaaring 1 o 0. Tandaan na ang pagkakaiba sa pagitan ng property 1 at property 2 ay na sa kaliwang bahagi ng equal sign ng parehong equation, ang mga posisyon ng X at 0 ay ipinagpapalit.

Ari-arian 3:

Kung ang X ay 0, kung gayon 0. 1 = 0. Kung ang X ay 1, kung gayon 1. 1 = 1.

Ari-arian 4:

Kung ang X ay 0, kung gayon 1. 0 = 0. Kung ang X ay 1, kung gayon 1. 1 = 1. Tandaan na ang pagkakaiba sa pagitan ng property 3 at property 4 ay nasa kaliwang bahagi ng parehong equation, ang mga posisyon ng Ang X at 1 ay ipinagpapalit.

Mga Katangian ng OR Function

Ari-arian 5:

Kung saan ang X ay maaaring 1 o 0. Nangangahulugan ito na kung ang X ay 0, ang resulta ay 0. Kung ang X ay 1, ang resulta ay 1.

Ari-arian 6:

Kung saan ang X ay maaaring 1 o 0. Tandaan na ang pagkakaiba sa pagitan ng property 5 at property 6 ay na sa kaliwang bahagi ng parehong mga equation, ang mga posisyon ng X at 0 ay ipinagpapalit.

Ari-arian 7:

Kung ang X ay 0, kung gayon 0 + 1 = 1. Kung ang X ay 1, kung gayon 1 + 1 = 1.

Ari-arian 8:

Kung ang X ay 0, kung gayon ang 1 + 0 = 1. Kung ang X ay 1, kung gayon ang 1 + 1 = 1. Tandaan na ang pagkakaiba sa pagitan ng property 7 at property 8 ay nasa kaliwang bahagi ng parehong mga equation, ang mga posisyon ng Ang X at 1 ay ipinagpapalit.

Mga Katangian Tungkol sa Kumbinasyon ng Variable sa Sarili nito o sa Complement Nito

Ari-arian 9:

Iyon ay: kung ang X ay 0, pagkatapos ay 0 . 0 = 0. Kung ang X ay 1, kung gayon 1 . 1 = 1.

Ari-arian 10:

Iyon ay: kung ang X ay 0, kung gayon 0. 1 = 0. Kung ang X ay 1, kung gayon 1. 0 = 0.

Para sa magkakasunod na variable, ang property na ito ay nagiging:

Ari-arian 11:

Iyon ay: kung ang X ay 0, kung gayon 0 + 0 = 0. Kung ang X ay 1, pagkatapos ay 1 + 1 = 1 (mula sa normal na OR).

Ari-arian 12:

Iyon ay: kung ang X ay 0, kung gayon 0 + 1 = 1. Kung X = 1, kung gayon 1 + 0 = 1.

Iyon ay: kung ang X ay 0, kung gayon 0 + 1 = 1. Kung X = 1, kung gayon 1 + 0 = 1.

Dobleng Komplementasyon

Ari-arian 13:

Kapag ang X sa kaliwang bahagi ay 0, ang X sa kanang bahagi ay nagiging 0. Kapag ang X sa kanang bahagi ay 1, ang X sa kaliwang bahagi ay nagiging 1. Sa madaling salita, ibinabalik ng double complements ang orihinal na halaga.

Commutative Law

Ari-arian 14:

Nangangahulugan ito na ang pagpapalit ng una at pangalawang operand para sa AND operator, sa kaliwang bahagi ng equal sign, ay hindi mahalaga; ang sagot ay pareho pa rin pagkatapos maganap ang pagpapalitan sa kaliwang bahagi. Ang equation na ito ay maaaring isulat na ang mga tuldok ay tinanggal bilang: XY = YX.

Ari-arian 15:

Ang paliwanag dito ay kapareho ng sa nakaraang AT, ngunit ito ay para sa OR operator.

Batas sa Pamamahagi

Ari-arian 16:

Narito ang tatlong variable: X, Y, at Z. Ang bawat variable ay maaaring maging 1 o 0. Sa kaliwang bahagi ng pantay na simbolo, ang mga bracket ay nangangahulugang suriin muna kung ano ang nasa kanila. Pagkatapos, ang AND ay ang resulta sa X. Ang kanang bahagi ay nagsasabi na ang X AT Y na magkasama, O ang X AT Z na magkasama, ay pareho sa kaliwang bahagi. Tandaan na ang operator ng tuldok para sa mga AND ay inalis sa kabuuan; at ang mga pinagsamang variable ay nangangahulugan pa rin ng AT.

Ari-arian 17:

Ang property na ito ay extension ng property 16 na may idinagdag na variable ng W.

Kaugnay na Batas

Ari-arian 18:

Ang ibig sabihin ng mga bracket ay suriin muna kung ano ang nasa mga bracket. Kaya, para sa expression sa kaliwang bahagi, kung ang Y na may Z ay ANDed muna, at X ay ANDed kasama ang resulta, kung gayon ang huling resulta sa kaliwang bahagi ay pareho sa huling resulta sa kanan. -hand-side kung saan ang X na may Y ay ANDed muna bago ANDing ang resulta sa Z. Tandaan na ang mga tuldok ay tinanggal sa equation.

Ari-arian 19:

Ipinaliwanag ang property na ito sa katulad na paraan tulad ng property 18, ngunit ang operator ng OR ay nagtatrabaho sa halip na ang operator ng AND. Ang OR operator + ay hindi kailanman tinanggal mula sa isang Boolean na expression para sa kapakanan ng pagiging simple. Sa kabilang banda, ang AND operator ay maaaring tanggalin at ang dalawang variable ay maaaring pagsamahin.

Pagsipsip

Ari-arian 20:

Sa equation na ito, anuman ang Y, ang kanang bahagi ay palaging magiging X (absorbed).

Ari-arian 21:

Gayundin, sa equation na ito, anuman ang Y, ang kanang bahagi ay palaging magiging X (na-absorb). Ang property 21 na ito ay kapareho ng property 20 na:

Dito, ginagamit namin ang distributive law at ang katotohanan na X.X = X ng ari-arian 9.

Isang Pagkakakilanlan

Ari-arian 22:

Nangangahulugan ito na para sa X + Y expression, ang complement ng X sa harap ng Y ay hindi nagbabago sa expression.

Ari-arian 23:

Nangangahulugan ito na para sa XY expression, ang complement ng X ORed na may Y sa mga bracket, na kung saan ay gagawin muna, ay hindi nagbabago sa XY expression.

Batas ni DeMorgan

Ari-arian 24:

Nangangahulugan ito na ang isang NOR (NOT OR) gate ay may parehong resulta tulad ng NOTing sa dalawang input bago ANDing ang mga ito.

Ari-arian 25:

Nangangahulugan ito na ang isang gate ng NAND (HINDI AT) ay may kaparehong resulta gaya ng pag-NOT sa dalawang input bago ang ORing.

Ang ibinigay na mga guhit ay ang 25 mga katangian. Mapapatunayan ang mga ito sa pamamagitan ng pagpapalit sa lahat ng magkakaibang posibleng halaga ng 1 at 0, sa bawat expression sa kaliwang bahagi, upang makita kung nakuha ang expression (o resulta) sa kanang bahagi. Ang mga patunay ay iniwan bilang isang pagsasanay para sa mambabasa.

2.5 Pagpapasimple ng Compound Expressions

Ang sumusunod na dalawang function ay pareho:

Ang Z ay ang output at X, W, at Y ang mga input. Ang una ay nangangailangan ng isang NAND gate, isang OR gate, isang AND gate, dalawang NOT gate, isang OR gate, at isang NOR gate. Ang pangalawa ay nangangailangan lamang ng dalawang AND gate. Ang una ay isang equation na may compound expression, sa kanang bahagi, na pinasimple (binawasan) sa iisang right-hand-expression term para sa pangalawang equation.

Ang pagpapasimple o pagbabawas ay humahantong sa mas kaunting bilang ng mga gate upang maipatupad ang parehong function bilang isang circuit. Ang ganitong mas maliit na circuit ay maaaring maging bahagi ng isang Integrated Circuit (IC) o maging isang stand-alone na circuit sa ibabaw ng motherboard ng computer.

Kapag ang isang function (equation) ay dumating sa proseso ng disenyo, ang pagpapasimple ay kailangang maganap upang mabawasan ang bilang ng mga gate at magtapos sa isang mas murang circuit. Ang pagpapasimple ay nangangailangan ng pagtatrabaho ng isa o higit pa sa nakaraang dalawampu't limang katangian ng Boolean.

Halimbawa 2.51:

Bawasan ang equation:

Tandaan: Ang dalawang panaklong sa tabi ng isa't isa ay nangangahulugan na ang mga panaklong ay ANDed (ang tuldok sa pagitan ng mga ito ay opsyonal na hindi naisulat).

Solusyon:
Para sa mga solusyon, ang katwiran (dahilan) para sa bawat hakbang ay ibinibigay sa kanan ng hakbang, sa mga bracket. Dapat basahin ng mambabasa ang bawat hakbang at ang katwiran nito. Dapat ding sumangguni ang mambabasa sa mga nakaraang katangian habang binabasa niya ang mga hakbang sa pagbabawas ng function.

Halimbawa 2.52:

Pasimplehin:

2.6 Pinakamababang Kabuuan ng Mga Produkto

Ang sumusunod na dalawang function ay pareho:

Ang parehong kanang-kamay na expression ng parehong equation ay sinasabing nasa Sum of Products (SP) form. Ang isang express expression ay sinasabing nasa Sum of Product form kung wala itong mga panaklong. Malinaw na ang unang function (equation) ay nangangailangan ng higit pang mga gate kaysa sa pangalawang function.

Ang unang kanang-kamay na expression ay maaari pa ring bawasan upang makuha ang pangalawang function. Ang pangalawang kanang bahagi na expression ay hindi na maaaring pasimplehin pa at maipahayag pa rin bilang Kabuuan ng Mga Produkto ('dagdag' ng mga termino). Ang pangalawang kanang bahagi na expression ay hindi na talaga mapapasimple pa. So, nasa Minimum Sum of Products (MSP) form daw ito.

Halimbawa 2.61:
Dalhin muna ang sumusunod na function sa Sum of Products form at pagkatapos ay sa Minimum Sum of Products form.

Solusyon:
Kapag nilulutas ang mga problemang tulad nito, ang isa o higit pa sa nakaraang dalawampu't limang katangian ay kailangang gamitin gaya ng inilalarawan sa solusyong ito:

2.6 Pinakamababang Kabuuan ng Mga Produkto

Ang sumusunod na dalawang function ay pareho:

Ang parehong kanang-kamay na expression ng parehong equation ay sinasabing nasa Sum of Products (SP) form. Ang isang express expression ay sinasabing nasa Sum of Product form kung wala itong mga panaklong. Malinaw na ang unang function (equation) ay nangangailangan ng higit pang mga gate kaysa sa pangalawang function.

Ang unang kanang-kamay na expression ay maaari pa ring bawasan upang makuha ang pangalawang function. Ang pangalawang kanang bahagi na expression ay hindi na maaaring pasimplehin pa at maipahayag pa rin bilang Kabuuan ng Mga Produkto ('dagdag' ng mga termino). Ang pangalawang kanang bahagi na expression ay hindi na talaga mapapasimple pa. So, nasa Minimum Sum of Products (MSP) form daw ito.

Halimbawa 2.61:
Dalhin muna ang sumusunod na function sa Sum of Products form at pagkatapos ay sa Minimum Sum of Products form.

Solusyon:
Kapag nilulutas ang mga problemang tulad nito, ang isa o higit pa sa nakaraang dalawampu't limang katangian ay kailangang gamitin gaya ng inilalarawan sa solusyong ito:

Ang huling expression na ito ay nasa Sum of Products form (SP), ngunit hindi sa Minimum Sum of Products form (MSP). Nasagot na ang unang bahagi ng tanong. Ang solusyon para sa ikalawang bahagi ay ang mga sumusunod:

Ang huling pinasimpleng function na ito (equation) ay nasa MSP form, at nangangailangan ng mas kaunting bilang ng mga gate para sa pagpapatupad kaysa sa katumbas nitong SP form. Tandaan: Ang SP ay nangangahulugang Kabuuan ng Mga Produkto habang ang MSP ay nangangahulugang Minimum na Kabuuan ng Mga Produkto.

Halimbawa 2.62:
Ang sumusunod na circuit ay may X, Y, at W input at Z ang output. Gumawa ng function na Sum of Products (SP) (maliwanag na minimum sum of products function) para sa Z. Pagkatapos, gumawa ng totoong mas pinaliit (minimized) Sum of Products (MSP). Pagkatapos, ipatupad ang MSP circuit (iguhit ang MSP gating network).

Fig 2.61 Isang Gating Circuit

Solusyon:
Bago magsimula ang proseso ng pagpapasimple, ang expression para sa Z ay dapat makuha sa mga tuntunin ng X, Y, at W. Sumangguni sa halimbawang paglalarawang ito mula sa diagram:

Ito ang expression ng Z sa mga tuntunin ng X, Y, at W. Pagkatapos nito, maaaring maganap ang pagpapasimple sa maliwanag na MSP. Ang maliwanag na MSP ay SP.

Ang huling equation na ito (function) ay nasa SP form. Ito ay hindi totoo Minimum Sum of Products (hindi pa MSP). Kaya, ang pagbabawas (minimization) ay kailangang magpatuloy.

Ang huling equation (function) na ito ay isang tunay na Minimum Sum of Products (MSP). At ang Minimum Sum of Products (true minimize) gating circuit ay:

Fig 2.62 MSP Gating Circuit

Magkomento
Mula sa pagsusuri sa seksyong ito, makikita na hindi malinaw kung ang Kabuuan ng Mga Produkto ay ang Minimum na Kabuuan ng Mga Produkto o hindi. Ang SP ay hindi masyadong kapaki-pakinabang. Ito ay MSP na lubhang kapaki-pakinabang. Mayroong isang tiyak na paraan upang makakuha ng MSP; ito ay gamitin ang Karnaugh Map. Ang Karnaugh Map ay lampas sa saklaw ng online career course na ito.

2.7 Mga Problema

Ang mambabasa ay pinapayuhan na lutasin ang lahat ng mga problema sa isang kabanata bago lumipat sa susunod na kabanata.

1. Gumawa ng mga talahanayan ng katotohanan na AT, O, at HINDI kasama ang kanilang mga kaukulang gate.
2. Isulat ang sampung Boolean Postulates sa kanilang iba't ibang kategorya, na pinangalanan ang mga kategorya.
3. Nang walang paliwanag, isulat ang dalawampu't anim na katangian ng Boolean algebra sa kanilang iba't ibang kategorya, na pinangalanan ang mga kategorya.
4. Bawasan ang equation gamit ang mga katangian ng Boolean at banggitin ang mga kategoryang ginamit.



5. Bawasan ang equation gamit ang mga katangian ng Boolean at banggitin ang mga kategoryang ginamit.



6. Gamit ang mga katangian ng Boolean at sinipi ang mga kategoryang ginamit, bawasan ang sumusunod na equation – una sa Kabuuan ng Mga Produkto at pagkatapos ay sa Minimum na Kabuuan ng Mga Produkto:



7. Gamit ang mga katangian ng Boolean at sinipi ang mga kategoryang ginamit, bawasan ang sumusunod na equation – una sa Kabuuan ng Mga Produkto at pagkatapos ay sa Minimum na Kabuuan ng Mga Produkto: